1994年12月1日深夜,贵阳市北郊一声巨响,人们亲眼目睹了神秘的UFO。瞬间,400亩碗口大的树木,被齐刷刷拦腰斩断;
真正的克莱因瓶确实造不出来,因为它是一个在四维空间里的特殊的无定向面,需要4个空间维度才能完整展示。它并不是到目前为止还造不出来,而是永远不可能造出来╮(╯_╰)╭。因为我们能**作的世界只有三个空间维度,还差一个维度呢,这在物理上是无法突破的,就像你在平面上能制造一个球体吗?显然不可能......
很多人对克莱因瓶的印象就是一个瓶子,但实际上它的提出者德国数学家克莱因提出的是一个无定向性的二维面,所以应该叫克莱因面。这个二维面没有正面与背面之分,它只有一面……
当你沿克莱因面的一个方向一直走会发现能从正面走到背面,然后又从背面走回到正面,也就是说它根本没有真正意义上的背面,它只有一面……
如果这个图你还看不太懂我们来看一个动图:
这样能看明白吗?它只有一面。
那么问题来了,如果它只是一个二维面,我们在三维空间为什么造不出来呢?因为要达到真正的克莱因瓶的效果,瓶的一部分必须伸到四维空间去。上图的瓶子你发现了吗,瓶子和瓶颈的交界部分其中一个面是封闭的,也就是无法通过的,你从上面动图中很容易就能看出来了。真正的克莱因面是没有断面的,因此真正的克莱因瓶的瓶颈需要进入到四维空间,从四维空间里穿进瓶身去。这就是为什么一个二维面需要四维空间才能构造——因为这个面是封闭的,已经构成了一个三维的几何结构,而它的几何性质只有在四维空间才能完全呈现。
如果你还是无法理解三维空间为什么造不出一个特殊二维面,我们就降维考虑一下好了。你看到图中的线路了吗?如果你把它截取出来实际上就是一个莫比乌斯带。
莫比乌斯带是由同是德国的数学家莫比乌斯提出的,它同样是一个二维面,同样是只有一个面,区别在于它并不是封闭的,因此它不会构成一个三维几何体,它就是一个有边界的二维面。然而它并不能在二维空间制造出来……因为它的结构在正常的二维空间无法产生,无论是平面、球面还是马鞍面的空间里,它都无法产生,它只能在三维里才能制造出来。
所以,市面上卖的克莱因瓶都只是模型,不是真正意义上的克莱因瓶。不过还挺好看的,买一个摆摆也无妨。
真正的克莱因瓶确实造不出来,网上卖得也不可能是真的克莱因瓶。更准确地说,克莱因瓶可能都是不存在的,因为直到今天为止,我们还无法证明四维空间的存在。而真正的克莱因瓶是属于四维空间的物体,是数学家们根据推测四维空间的性质,臆想的一个物体。
网上卖的克莱因瓶是什么?网上卖得克莱因瓶,实则是一个三维的投影模拟物。它的结构图大致如上图,我们可以清楚地看到扭转过来瓶颈穿过了自身的瓶身。
按这种结构图造出来的克莱因瓶,就是上图这样。但这并不是德国几何学大师菲立克斯·克莱因 (Felix Klein)所提出的“不分里外”的奇异瓶子。这只是一个我们在三维空间里所能造出来的高仿品而已,因为克莱因瓶实质是指一种无定向性的平面。在拓扑学中,克莱因瓶是一个不可定向的拓扑空间。
如果拿一个我们比较好理解的东西来比喻的话,它和莫比乌斯环的概念差不多,如下图:
一个不分正反的扭曲面。
一张普通的小纸条,一端旋转180°后与另一端首尾相接,你会惊奇地发现这张纸条原本的两个面(正面和反面)突然就消失了,成为了只有一个可无限循环的面,这就是莫比乌斯环。
然而,我们之所以能做出它,是因为我们在三维空间中,将一个二维平面进行了扭曲,然后将原来的正反面进行交换连接(正面连反面,反面连正面)。莫比乌斯环的核心概念,在于消除了我们对正反两面的传统认知。
而克莱因瓶就相当于莫比乌斯环的升级版,意味着在更高一个维度,就能消除我们现在对于“里外”的认知。
我们造不出克莱因的根本原因是维度不够。正如莫比乌斯环只能诞生于三维空间中,克莱因瓶则只能诞生于四维空间中。没有多出来这一个维度空间,我们就无法颠覆物体的“里外”概念,让里外互通。
克莱因瓶说它是“瓶子”是一种误导,它实际就是四维空间中的一个扭曲的“面”。
再拿上面的结构图来说,真正的克莱因瓶是不会和自身相交的。而这样的形象可以通过数学公式来表达,但无法通过我们的大脑具象化,因为作为三维世界的我们,无法具象高维度的事物。用“只可意会不可言传”来形容一点也不为过。
但我们又具有极强的探知欲和表现欲,画不出真的模样,就搞个高仿嘛。所有网上售卖的克莱因瓶本质来说,就是这些高仿图纸的作品。
实际上,我们与克莱因瓶隔着无法逾越的天堑鸿沟,就像书本中的小人,仰望现实中的太阳一样。
首先,真不真实,不能完全由感官来决定。就像科学发展到今天,我们见证过太多曾经认为的不真实,变成了实实在在的现实。地球是圆的如此,日心说亦如此。
其次,人类之所以比其他生物优秀,就是我们总是敢于去思考一些挑战现实的事情。学会提出问题,是科学发展的前提;通过实验去检验问题,是科学发展的准则。
人类要进步,首先不能放弃想象,就像爱因斯坦如不会思想实验,就没有相对论一样。
而克莱因瓶就是科学家设计出来挑战四维空间认知的神器,我们把现在还无法验证的空间假想通过数学勾勒出来,再用想象力来丰满它,来打开我们的思考维度。
“如果能拥有一个没有正反的平面,为什么不能拥有一个没有里外的三维立体?”
这是几何大师菲立克斯·克莱因抛给人类的一个关于空间思考的命题。问题已经提出,至于回答则需要交给后人去检验。
思考性总结克莱因瓶是真是假其实不重要,重要的是能不能想到,以及思考其背后的意义。作为探知宇宙才刚刚起步的人类,我们目前对于宇宙的所有知识,仅仅来源于被困于宇宙汪洋中的这座名为地球的小岛。
岛外真实的世界,我们根本从未经历。如果仅限于“经验论”来获取知识,那我们对于宇宙至今都是无知的。
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